Question

В прямоугольном треугольнике ABC ((C = 900) с катетами 3 и 4 провели высоту CH. В получившиеся треугольники ACH и BCH вписали две окружности, которые касаются CH в точках K и L. Найти длину отрезка KL

Answer 1

рисунок в файле
Итак , для простоты записей введем
АС=b  BC=a    AB=c    AH=x      BH=y      CH=h
1)Как мы видим, R=KH,      r=LH  отсюда KL=R-r
2)т.к. АВС- прямоугольный с катетами 3 и 4, тогда гипотенуза АВ=с=5
3)треуг. ACH и АВС подобны, поэтому  х/АС=АС/АВ    х/3=3/5    х=9/5
     у=5-9/5=16/5
4) CH находим из площади АВС    a*b/2=c*h/2    3*4=5*h  h=12/5
5)из треугольников АСН и ВСН находим радиусы вписанных окружностей.
     можно через формулу площади  (r=2S/(a+b+c), но так как треуг. прямоугольные, то воспользуемся формулой  (r=(a+b-c)/2 -сумма катетов минус гипотенуза и все делить на 2- эта формула выводится за пять секунд в пол-строчки)

r=(9/5+12/5-3)/2=3/5
R=(16/5+12/5-4)/2=4/5

KL=R-r=4/5-3/5=1/5=0.2