Question

А) Решите уравнение.
2cos2x-4cosx-1=0
Б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку {-5п/2; -п}

Answer 1

Ответ:

А) 2·cos2x-4·cosx-1=0

Тождество: cos2x = 2·cos²x-1

2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0

4·cos²x-2-4·cosx-1=0

4·cos²x-4·cosx -3=0

Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.

Получим квадратное уравнение:

4·t²-4·t-3=0

D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²

t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит

t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.

Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:

cosx= -1/2, отсюда получаем

Ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.

Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)

Из первого набор корней:

-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π    |:π

-5/2 < 2/3+2·k < -1

-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3

-19/6 < 2·k < -5/3    |:2

-19/12 < k < -5/6

-19/12 < k < -10/12

-19/12 < -12/12 < -10/12

k= -12/12 = -1. Тогда

x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).

Из второго набор корней:

-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π    |:π

-5/2 < 4/3+2·k < -1

-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3

-23/6 < 2·k < -7/3      |:2

-23/12 < k < -7/6

-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!

Ответ: x = -4·π/3.