Question

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
Найдите радиус данной окружности, если угол А =30 градусов, В1С1=5 и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырехугольника ВСВ1С1.

Answer 1

Треугольники ABC и ABC₁ подобны и их площади относятся как 4:1. Значит AC=2AC₁. Значит, для тр-ка ACC1 по теореме косинусов
$CC_1^2=AC_1^2+4AC_1^2-2\cdot 2AC_1\cdot AC_1\cos 30^\circ,$ т.е. $CC_1=AC_1\sqrt{5-2\sqrt{3}}.$ Тогда по теореме синусов для этого же треугольника $CC_1/\sin30^\circ=AC_1/\sin\angle C_1CA$, т.е. $\sin\angle C_1CA=1/\left(2\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)$. По теореме синусов для тр-ка B₁CC₁ получаем $B_1C_1/\sin\angle C_1CB_1=2R,$ откуда $R=5\sqrt{5-2\sqrt{3}}.$