Question

В остроугольном треугольнике ABC‍ из вершин A‍ и C‍ на стороны BC‍ и AB‍ опущены высоты AP‍ и CQ.‍ Найдите сторону AC,‍ если известно, что периметр треугольника ABC‍ равен 15, периметр треугольника BPQ‍ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ,‍ равен $\frac{9}{5}$

Answer 1

Точка О - точка пересечения высот АР и СQ.
Рассмотрим прямоугольные ΔАQO и ΔCPO: у них <АQO=<CPO=90° (по условию), <АОQ=<CОР (вертикальные), значит <QАO=<РСO. 
Прямоугольные ΔAРВ‍ и ΔСQB‍ подобны по 1 признаку (по 2 углам <В- общий, <ВАР=<ВСQ), значит ВР/ВQ=АВ/ВС или АВ/ВР=ВС/ВQ.
Исходя из этого ΔАВС подобен ΔРВQ по 2 признаку (по двум сторонам АВ/ВР=ВС/ВQ и углу между ними <В- общий). Т.к. ΔАВС остроугольный, то <В меньше 90°. Тогда из прямоугольного ΔАРВ находим коэффициент подобия k=BP/AB=cos B.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: Равс/Ррвq=15/9=5/3.Тогда cos B=3/5.
У подобных треугольников отношение радиусов или диаметров описанных окружностей равно коэффициенту подобия, значит радиусы Rрвq/Rавc=3/5
Rавc=5Rрвq/3=5*9/5*3=3.
Исходя из формулы радиуса описанной окружности Rавc=АС/2sin B, найдем АС=Rавc*2sin B=Rавc*2 √(1-соs² B)=3*2*√(1-9/25)=3*2*4/5=4,8
Ответ: 4,8