Question

Найдите все числа, на которые может быть сократима при целом значении n дробь (5n+6)/(8n+7)

Answer 1

Разложим дробь
$\frac{5n+6}{8n+7}=\frac{5n}{8n+7} + \frac{6}{8n+7}= \ (*)$

$\frac{5n}{8n+7} = A + \frac{B}{8n+7}; \ \ \ \ A \cdot (8n+7) + B=5n; \\ \\ \left \{ {{8A=5} \atop {7A+B=0}} \right. \ \ \left \{ {{A=\frac{5}{8}} \atop {B=-\frac{35}{8}}} \right. \\ \\ \frac{5}{8} - \frac{35}{8 \cdot (8n+7)}$

$(*) \ = \frac{5}{8} - \frac{35}{8 \cdot (8n+7)}+ \frac{6}{8n+7}= \frac{5}{8} + \frac{-35+48}{8\cdot (8n+7)}=\frac{5}{8} + \frac{13}{8\cdot (8n+7)}$

НОД $(13, 8n+7)=1,13$

$8n+7=13m; \ \ \ m=8k+3, \ \boxed{n=13k+4, \ k \in Z}$