Question

решите пожалуйста дифференциальные уравнения

Answer 1

$1)\; y'=\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}\\\\t=\frac{y}{x},\; y=tx,\; y'=t'x+t\\\\t'x+t=t^2-t\\\\t'=\frac{t^2-2t}{x}\\\\\int \frac{dt}{t^2-2t}=\int \frac{dx}{x}\\\\\int \frac{dt}{(t-1)^2-1}=\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{1}{2}ln|\frac{t-1-1}{t-1+1}|=ln|x|+lnC\\\\ln\sqrt{\frac{t-2}{t}}=ln(Cx)$

$\sqrt{\frac{y-2x}{y}}=Cx$

$2)\; y'+ycosx=sin2x\\\\y=uv\\\\u'v+uv'+uvcosx=sin2x\\\\u'v+u(v'+vcosx)=sin2x\\\\1)\; v'+vcosx=0\\\\\int \frac{dv}{v}=-\int cosx\, dx\\\\ln|v|=-sinx\\\\v=e^{-sinx}$

$2)\; u'\cdot e^{-sinx}=sin2x\\\\\int du=\int e^{sinx}\cdot sin2x\, dx\\\\\int e^{sinx}\cdot 2sinx\cdot cosxdx=[\, u=sinx,\, du=cosxdx,\\\\ dv=e^{sinx}cosxdx,\; v=\int dv=e^{sinx}]=\\\\=e^{sinx}\cdot sinx-\int e^{sinx}\cdot cosxdx=e^{sinx}\cdot sinx-e^{sinx}+C\\\\3)\; y=y=e^{-sinx}(e^{sinx}\cdot sinx-e^{sinx}+C)=sinx-1+Ce^{-sinx}$