решите уравнение sinx+cosx=1-sin2x
Аноним:
может быть sinx - cosx = 1-sin2x??
Ответы
Ответ дал:
0
как-то так
(1)
![sin(x)+cos(x)=1-2sin(x)cos(x) sin(x)+cos(x)=1-2sin(x)cos(x)](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28x%29%2Bcos%28x%29%3D1-2sin%28x%29cos%28x%29)
обозначим
u=sin(x)
тогда
![cos(x)= \sqrt{1-u^2} cos(x)= \sqrt{1-u^2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%28x%29%3D+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D+)
уравнение примет вид
![u+ \sqrt{1-u^2}=1-2u \sqrt{1-u^2} u+ \sqrt{1-u^2}=1-2u \sqrt{1-u^2}](https://tex.z-dn.net/?f=u%2B+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D%3D1-2u+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D++)
возводим обе части равенства в квадрат (Вот тут влез лишний корень u=-1)
![u^2+2u \sqrt{1-u^2}+1-u^2=1-4u \sqrt{1-u^2}+4u^2 (1-u^2) u^2+2u \sqrt{1-u^2}+1-u^2=1-4u \sqrt{1-u^2}+4u^2 (1-u^2)](https://tex.z-dn.net/?f=u%5E2%2B2u+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D%2B1-u%5E2%3D1-4u+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D%2B4u%5E2+%281-u%5E2%29+++)
(ЖЖ)
(Ж)
сокращаем на
при этом
≠0 проверить
![3 =2u \sqrt{1-u^2} 3 =2u \sqrt{1-u^2}](https://tex.z-dn.net/?f=3+%3D2u+%5Csqrt%7B1-u%5E2%7D)
снова обе части в квадрат
![9 =4u^2 (1-u^2) 9 =4u^2 (1-u^2)](https://tex.z-dn.net/?f=9+%3D4u%5E2+%281-u%5E2%29)
![-4u^4 +4u^2-9=0 -4u^4 +4u^2-9=0](https://tex.z-dn.net/?f=-4u%5E4+%2B4u%5E2-9%3D0)
Проверьте Нигде не хомутнул.
Ну дальше уже проще
обозначим![v=u^2 v=u^2](https://tex.z-dn.net/?f=v%3Du%5E2)
-4v^2+4v-9=0
Да это уравнение вещественных корней не имеет, так как дискриминант <0, как справедливо заметили коллеги.
НО
Мы делили на
могли потерять решение
при
тогда (Ж) обращается в верное равенство.
Значит, надо рассмотреть уравнение
при
Ну а,это решение уже имеет корни
![u_{1}=1 u_{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=u_%7B1%7D%3D1)
![u_{2}=-1 u_{2}=-1](https://tex.z-dn.net/?f=u_%7B2%7D%3D-1)
u=sin(x)=-1 придется отбросить, ибо такое значение не удовлетворяет исходному уравнению (1)
![sin(x)=1 sin(x)=1](https://tex.z-dn.net/?f=+sin%28x%29%3D1+)
![x= \frac{ \pi}{2}+2 \pi k x= \frac{ \pi}{2}+2 \pi k](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D++%5Cfrac%7B+%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2+%5Cpi+k+)
где к целые числа
Да судя по рисунку мы еще потеряли корни.
Да там где (ЖЖ) мы делили (сокращали на 2u)
u=0 тоже обращает (ЖЖ) в верное равенство
Тогда
![sin(x)=0 sin(x)=0](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28x%29%3D0)
И еще один набор корней
![x=0+ n\pi x=0+ n\pi](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D0%2B+n%5Cpi+)
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
Блин, а судя по картинке, остаются только,
![x=2 \pi n x=2 \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D2+%5Cpi+n)
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
обозначим
u=sin(x)
тогда
уравнение примет вид
возводим обе части равенства в квадрат (Вот тут влез лишний корень u=-1)
сокращаем на
снова обе части в квадрат
Проверьте Нигде не хомутнул.
Ну дальше уже проще
обозначим
-4v^2+4v-9=0
Да это уравнение вещественных корней не имеет, так как дискриминант <0, как справедливо заметили коллеги.
НО
Мы делили на
при
тогда (Ж) обращается в верное равенство.
Значит, надо рассмотреть уравнение
при
Ну а,это решение уже имеет корни
u=sin(x)=-1 придется отбросить, ибо такое значение не удовлетворяет исходному уравнению (1)
где к целые числа
Да судя по рисунку мы еще потеряли корни.
Да там где (ЖЖ) мы делили (сокращали на 2u)
u=0 тоже обращает (ЖЖ) в верное равенство
Тогда
И еще один набор корней
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
Блин, а судя по картинке, остаются только,
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/658/65852fe7eb1bef9f4e6ea662e9de21cd.png)
Ответ дал:
1
**********************************************
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/2b8/2b831bbd4194b4d6a0d490153441cd2f.png)
Вас заинтересует
11 месяцев назад
11 месяцев назад
1 год назад
6 лет назад