Question

найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е при x=R и при x=-R
$5 x^{n} /( 3^{n} \sqrt{n} )$

Answer 1

$R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{5}{3 ^{n} \sqrt{n} } }{ \frac{5}{3 ^{n+1} \sqrt{n+1} } }= \lim_{n \to \infty} \frac{3 \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n} }=3$

При х=3 получим числовой ряд с общим членом:
$a_n= \frac{5\cdot 3 ^{n} }{ 3^{n} \sqrt{n} }= \frac{5}{ \sqrt{n} }$

Такой ряд расходится, так как степень у переменной n  равна 1/2<1

При x=-3 получим числовой ряд с общим членом:
$a_n= \frac{5\cdot (-3) ^{n} }{ 3^{n} \sqrt{n} }= \frac{5\cdot (-1)^n}{ \sqrt{n} }$
Это знакочередующийся ряд. Он сходится по признаку Лейбница
Общий член ряда монотонно убывает по модулю  и стремится к нулю