Question

Помогите пожалуйста: 1) Найти значeние производной в точке.
2) Составить уравнение касательных к графику функции.

Answer 1

$1)~f(x)=lnx*e^{1-2x} \\ \\ ~~~~f'(x)=(lnx)'e^{1-2x}+lnx(e^{1-2x}})'= \frac{1}{x} *e^{1-2x}+lnx*(-2)*e^{1-2x}= \\ =\frac{e^{1-2x}}{x} -2lnx*e^{1-2x} \\ \\ f'(1)= \frac{e^{1-2*1}}{1} -2ln1*e^{1-2*1}=e^{-1}-0= \frac{1}{e}$



$2)~f(x)= \frac{1}{3} x^3-x^2-x+1$
Уравнение касательной имеет вид:
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Так как нам дано уравнение параллельной прямой $y=2x+5$ , то мы узнаём коэффициент касательной, он же и производная функции.
$f'(x_0)=k=2$

Найдем производную функции, а затем приравняем её к $2$ , тем самым мы найдём $x_0$ - точки касания.

$f'(x)=x^2-2x-1 \\ x^2-2x-1 =2 \\ x^2-2x-3=0 \\ (x+1)(x-3)=0$

$x=-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=3$
Теперь возвращаемся к формуле. Работаем с каждой точкой касания отдельно: находим для каждой точки всё, что нужно в формулу:

Для $x_0=-1$:
$f(-1)= \frac{1}{3} *(-1)^3-(-1)^2-(-1)+1= -\frac{1}{3} -1+1+1=- \frac{1}{3} +1= \frac{2}{3}$


Для $x_0=3$:
$f(3)= \frac{1}{3} *3^3-3^2-3+1=\frac{1}{3}*27-9-2=9-9-2=-2$

$f'(x_0)=2$  -  Это нам известно для обеих формул.

Теперь можем составить две формулы (т.к. две точки касания):
$y=\frac{2}{3}+2(x+1)=\frac{2}{3}+2x+2=2x+\frac{8}{3} \\ 1)~y=2x+\frac{8}{3}$
$y=-2+2(x-3)=-2+2x-6=2x-8 \\ 2)~y=2x-8$

Ответ:  $1)~y=2x+\frac{8}{3};~~~~2)~y=2x-8$