Question

Висота правильної трикутної піраміди 3 см. Бічна грань утворює з площиною основи кут 45 градусів.Знайти об'ем і повну поверхню піраміди

Answer 1

Правильная треугольная пирамида SABC- это пирамида, основанием которой является правильный треугольник ABC (АВ=ВС=АС), а вершина S проецируется в центр основания O.
Высота пирамиды SO=3
Апофема пирамиды SK (высота боковой грани)
<SKO=45°
В прямоугольном ΔSОК  углы при основании <SKO=<ОSK=45°, значит треугольник равнобедренный SO=ОК=3.
SK=√(SO²+ОК²)=√2SO²=SO*√2=3√2.
Т.к. в равностороннем треугольнике центр О является центром вписанной и описанной окружности, то значит ОК - это радиус вписанной окружности.: ОК=АВ/2√3.
АВ=2√3*ОК=2√3*3=6√3
Объем пирамиды V=SO*AB²/4√3=3*(6√3)²/4√3=27√3
Периметр основания Равс=3АВ=18√3
Площадь основания Sавс=АВ²*√3/4=(6√3)²*√3/4=27√3
Площадь полной поверхности:
S=1/2*Pавс*SK+Sавс=1/2*18√3*3√2+27√3=27√3(√2+1)