Question

Точки $A_{1} , B_{1} ,$ и $C_{1}$ - основания высот треугольника ABC, О - центр его описанной окружности.
а) Докажите, что OA перпендикулярно $B_{1} C_{1}$
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что $A_{1} B_{1} =21, A_{1} C_{1} =17, B_{1} C_{1} =10$

Answer 1

По известному соотношению углов , в треугольнике $AB_{1}C_{1}$ $AC_{1}B_{1} = ACB\\ AB_{1}C_{1} = ABC$ 
Так как $AOC=2*ABC$ 
$OAC= 90-ABC \\ BC_{1}C=90-BAC$ 
значит угол который мы находим равен 
$ABC+BAC+BCA-90 = 180-90 = 90$ то есть он перпендикулярен   
  
 Положим  
 $BC=x;AC=z;AB=y$ 
 из подобия треугольников    $B _{1}A_{1}C \\ B_{1}C_{1}A \\ A_{1}C_{1}B$  
 $x=\frac{17y}{z}+ \frac{21z}{y}\\ z=\frac{21x}{y}+\frac{10y}{x}\\ y=\frac{17x}{z}+\frac{10z}{x}$  
  
 
 $x=10\sqrt{17} \\ y=3\sqrt{85}\\ z= 17\sqrt{5}\\ S_{ABC}= 510$