Question

Sqrt(1-x^2)*dx в пределах от 1 до 0
С решением пожалуйста

Answer 1

$\int\limits^0_{-1} {\sqrt{1-x^2}} \, dx = (*)$

Найдём неопределённый интеграл.

Сделаем замену
$x=\sin{t}; \ \ dx=\cos{t} \, dt \\ \\ (*)= \int {\sqrt{1-\sin^2{t}}} \cdot \cos{t} \,dt = \int{\sqrt{\cos^2{t}}} \cdot \cos{t} \,dt = \int \cos^2{t} \,dt = \\ \\=\int {\frac{1+\cos{2t}}{2}} \,dt = \frac{1}{2} \cdot (\int {1} \,dt + \int {\cos{2t}} \,dt)=\frac{1}{2}\cdot (t } + \frac{1}{2} \int {\cos{2t}} \,d(2t))=$$\frac{1}{2}\cdot ( t + \frac{1}{2} \sin{2t}})+C=\frac{1}{2}\cdot (t + \frac{1}{2} \sin{2t}})}+C = (*) \\ \\ x=\sin{t}; \ \ t =arcsin \, x \\ \\ (*)=\frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin \, x)}})}+C$

Вычислим определённый интеграл
$\left.{ \frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin \, x)}})} }\right|_{ -1 }^{ 0 }=\\ \\ =\frac{1}{2} (arcsin 0 + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin 0)}}- (arcsin (-1) + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin(-1))} \\ \\ =\frac{1}{2} (0 +0}- (-\frac{\pi}{2}+ \frac{1}{2} \sin{0}))=\frac{1}{2} \cdot (\frac{\pi}{2}-0)=\frac{\pi}{4}$