Ответы
Ответ дал:
8
Отберем корни из [π/2; π]: x = π - стационарная точка функции f(x) в [π/2; π].
f(π/2) = 2sin(π/2) + sin π = 2+0 =2 -наибольшее
f(π) = 2sin π + 2sin 2π = 0+0 =0 - наименьшее
Ответ дал:
6
Для начала мы найдем производную этой функции:
![y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%282sinx+%2B+sin2x%29%27%3D2cosx%2B2cos2x)
Теперь приравниваем нашу производную нулю
![y'=0 y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D0)
![2cosx+2cos2x=0 2cosx+2cos2x=0](https://tex.z-dn.net/?f=2cosx%2B2cos2x%3D0)
![cosx+cos2x=0 cosx+cos2x=0](https://tex.z-dn.net/?f=cosx%2Bcos2x%3D0)
Теперь по формуле двойного угла:
![cos2x=2cos^2x-1 cos2x=2cos^2x-1](https://tex.z-dn.net/?f=cos2x%3D2cos%5E2x-1)
![2cos^2x+cosx-1=0 2cos^2x+cosx-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=2cos%5E2x%2Bcosx-1%3D0)
Делаем замену: cos x = t
![2t^2+t-1=0 2t^2+t-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=2t%5E2%2Bt-1%3D0)
Находим дискриминант:
![D=1-4*2*(-1)=9=3^2 D=1-4*2*(-1)=9=3^2](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D1-4%2A2%2A%28-1%29%3D9%3D3%5E2)
![t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2} t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=t_1%3D+%5Cfrac%7B-1%2B3%7D%7B4%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++)
![t_2= \frac{-1-3}{4}=-1 t_2= \frac{-1-3}{4}=-1](https://tex.z-dn.net/?f=t_2%3D+%5Cfrac%7B-1-3%7D%7B4%7D%3D-1+)
Подставим значения t1 и t2 в нашу замену
![1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n 1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+cosx%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B+x%3D++%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%2B+2+%5Cpi+n)
n ∈Z
Эта точка не подходит нашему промежутку
![[ \frac{ \pi }{2}; \pi ]<br /> [ \frac{ \pi }{2}; \pi ]<br />](https://tex.z-dn.net/?f=%5B+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D%3B+%5Cpi+%5D%3Cbr+%2F%3E)
![2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n 2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=2%29+cosx%3D-1%3Bx%3D+%5Cpi+%2B2+%5Cpi+n)
n ∈Z
Эта точка уже принадлежит нашему промежутку
Подставим значение x в начальное условие:
![y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0 y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0](https://tex.z-dn.net/?f=y%28+%5Cpi+%29%3D2sin+%5Cpi++%2B+sin2+%5Cpi+%3D0)
Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка:
![y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2 y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2](https://tex.z-dn.net/?f=y%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%3D2sin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%2B+sin2%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D2%2A1%2B0%3D2)
В точке (pi/2) мы уже нашли значение функции
Теперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение
![y_{max}=2 y_{max}=2](https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bmax%7D%3D2)
![y_{min}=0 y_{min}=0](https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bmin%7D%3D0)
Ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.
Теперь приравниваем нашу производную нулю
Теперь по формуле двойного угла:
Делаем замену: cos x = t
Находим дискриминант:
Подставим значения t1 и t2 в нашу замену
n ∈Z
Эта точка не подходит нашему промежутку
n ∈Z
Эта точка уже принадлежит нашему промежутку
Подставим значение x в начальное условие:
Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка:
В точке (pi/2) мы уже нашли значение функции
Теперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение
Ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.
Вас заинтересует
11 месяцев назад
11 месяцев назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
7 лет назад
7 лет назад