Question

Последовательность Tn определена следующим образом: T1=2, Tn=2 Tn-1 (это индекс, в верхнем правом углу пишется) при n>=2. Найти остаток от деления числа T1+T2+...+T255 на 255.

Answer 1

Дано
$T_1 = 2; T_n = 2*T_{n-1}$

Или, что то же самое
$T_m=2^m$

Докажем утверждение:
$\sum_{k=1}^n T_k = T_{n+1} - 2$

Для  n = 1 утверждение истинно и выглядит как 2=4-2.
Пусть это утверждение верно  для некоего p,
$\sum_{k=1}^p T_k = T_{p+1} - 2$
тогда
$\sum_{k=1}^{p+1} T_k = \sum_{k=1}^{p} T_k + T_{p+1}=(T_{p+1} - 2) + T_{p+1}=\\=2*T_{p+1}-2 = T_{p+2} - 2$

Таким образом наше первоначальное утверждение верно для любого натурального n.

Следовательно
$T_1 + T_2+...+T_{255}=\sum_{k=1}^{255}T_k=T_{256}-2=2^{256}-2$

Теперь найдем остаток
$\frac{2^{256}-2}{255}=\frac{2^{256}-1}{2^8-1}-\frac{1}{2^8-1}=\\=(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)(2^{128}+1)-\frac{1}{2^8-1}$

Таким образом добавление единицы к исследуемой сумме сделает ее делящейся на 255 нацело, т.е. остаток от деления суммы на 255 будет равен 254.

Ответ: 254