Question

решите уравнение cosx+sinx=cos^2x+sin^x

Answer 1

По основному тригонометрическому тождеству: cos^2 x+ sin^2 x=1
Тогда cos x + sin x = 1
C помощью формул универсальной тригонометрической подстановки: 
$sin x = \frac{2 tg \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} } \\ cos x = \frac{1- tg ^{2} \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} }$
ОДЗ: $cos \frac{x}{2} \neq 0,x \neq 2 \pi n$
Подставим, приведем к общему знаменателю, избавимся от него, получим:

$2 tg \frac{x}{2} +1-tg ^{2} \frac{x}{2} =1+tg ^{2} \frac{x}{2} \\ 2 tg \frac{x}{2}-2tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}-tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}(1-tg \frac{x}{2})=0$

$tg \frac{x}{2}=0, tg \frac{x}{2}=1 \\ \left \{ {{ \frac{x}{2} = \pi n} \atop { \frac{x}{2} = \frac{ \pi }{4}+ \pi k }} \right. \\ \left \{ {{x=2 \pi n} \atop {x=\frac{ \pi }{2}+ \pi k }} \right.$

Answer 2

cosx+sinx=1
sin(π/2-x)+sinx=1
2sinπ/4cos(π/4-x)=1
2*√2/2cos(π/4-x)=1
cos(π/4-x)=1/√2
cos(π/4-x)=sin(x-π/4)
sin(x-π/4)=1/√2
x-π/4=(-1)^n*π/4+πn
x=π/4+(-1)^n*π/4+πn