Question

Решите систему уравнений:

Answer 1

$\begin{cases}x^3+y^3=65\\ x^2y+xy^2=20\end{cases}~~~~\begin{cases}(x+y)(x^2-xy+y^2)=65\\ xy(x+y)=20\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)=65\\ xy(x+y)=20\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}(x+y)((x+y)^2-3xy)=65\\ xy(x+y)=20\end{cases}$

Сделаем замену:

пусть
$x+y=a$
$xy=b$

тогда  
$\begin{cases}a(a^2-3b)=65\\ ba=20\end{cases}~~~~~\begin{cases}a(a^2- \frac{60}{a})=6=45 \\ b= \frac{20}{a} \end{cases} \\ \\ \\ a^3-60=65 \\ a^3=125 \\ a=5 \\ b= \frac{20}{5} =4 \\ \\ \begin{cases}x+y=5\\ xy=4\end{cases}~~~~\begin{cases}y=5-x\\ x(5-x)=4\end{cases} \\ \\ \\ 5x-x^2-4=0~~~|\cdot(-1)$
$x^2-5x+4=0 \\ (x-1)(x-4)=0 \\ x_1=1,~~x_2=4 \\ y_1=4,~~y_2=1$

Ответ:   $(1;4),~~~(4;1)$