Question

Для некоторого числа х разность любых двух из чисел x^3 x^4 и х^5 - целое число. а)Докажите, что х - целое число. б)Докажите, что х - рациональное число

Answer 1

Сначала докажем б) как более слабое утверждение.
Из условия следует что x^5-x^4=x^4(x-1)=a, где a - целое, и
x^4-x^3=x^3(x-1)=b также целое => x=a/b - рациональное по определению рациональных чисел.
а) Пусть x=p/q - несократимая дробь причем p, q - целые и q>1(ну это мы записали что число x - рациональное нецелое число) Тогда x^4-x^3=
=x^3(x-1)=$\frac{p^3(p-q)}{q^3}=a$. Но так как НОД(p,q)=1, то и
НОД(p-q,q)=1, соответственно и НОД(p-q, q^4)=1, что значит $\frac{p^3(p-q)}{q^3}$ нецелое число - противоречие