Question

В треугольнике АВС высота СН, биссектриса СL и медиана СМ делят угол АСВ на 4 равных угла.
а) Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
б) Найдите длины высоты СН, биссектрисы CL и медианы СМ, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен R. P.S. биссектриса у меня получилась R√(2-√2), ответ не очень красивый... Опровергните или подтвердите его плз)

Answer 1

Вот некое утверждение, если кто-то докажет, что оно ошибочно, я ему лично пожму руку :)))
Пусть высота CH пересекает описанную окружность в точке K, биссектриса CL в точке Q, медиана CM в точке P. Дуги AK = KQ = QP = PB;
Точки P и K симметричны относительно QM.
Легко доказать (я тут этого делать не буду!), что прямая PM проходит через ортоцентр ABC. (то есть точку пересечения высот).
А теперь - внимание! :)))))
Для того, чтобы эта прямая прошла через вершину C, нужно, чтобы вершина C была бы ортоцентром треугольника ABC. :))) То есть этот треугольник - прямоугольный.
(странное доказательство, и я жду возражений :) Получается, что, если медиана и высота образуют с биссектрисой равные углы, то треугольник обязательно прямоугольный. Это - очень сильное утверждение, мне не верится, что это на самом деле так).
Чтобы, если это доказательство будет опровергнуто, решение не удалили, я приведу и другое, очень тупое доказательство.
Если обозначить угол между высотой и биссектрисой x, то легко найти
AH = HL = h*tg(x); BH = h*tg(3x); MH = h*tg(2x); h = CH;
из того, что CM - медиана, следует
tg(3x) - tg(2x) = tg(x) + tg(2x);
sin(x)/(cos(3x)*cos(2x)) = sin(3x)/(cos(x)*cos(2x));
sin(2x) = sin(6x);
cos(4x)*cos(2x) = 0;
единственное приемлемое решение 4x = π/2; то есть ∠ACB = π/2; треугольник прямоугольный.
Его меньший острый угол равен x = π/8;
Дальше все в этой задаче просто,
CM = R; СL = AC = 2R*sin(π/8); CH = AC*cos(π/8) = R*sin(π/4) = R√2/2;
вычислить значение z = sin(π/8) можно так
1 - 2*(sin(π/8))^2 = √2/2; 
sin(π/8) = √(2-√2)/2;