В возрастающей геометрической прогрессии разность пятого и первого членов равна 15 а разность четвёртого и второго членов равна 6. сумма всех членов прогрессии равна 127. Определите число членов в данной прогрессии
Ответы
Ответ дал:
0
Дана возрастающая геометрическая прогрессия: b₁,b₂,b3, b₄,b₅, ...Cоставим систему уравнений по условию задачи для нахождения b₁ и q.
b₅ - b₁ = 15 и b₄ -b₂ = 6 (Эти уравнения надо объединить значком системы, но я не могу найти как это напечатать). Преобразуем эту систему:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15 и b₁ * q³ - b₁ * q =6 далее умножим второе уравнение на q:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15 и b₁ * q⁴ - b₁ * q =6 q далее вычтем из первого второе и выразим из него b₁: b₁ *q² - b₁ = 15 - 6q; b₁(q² - 1) = 15 - 6q
b₁ = (15 - 6q)/(q² -1) Теперь найдем q из уравнения b₁ * q³ - b₁ * q =6
b₁ * q(q² - 1)=6 сделаем подстановку: (15 - 6q)/(q² -1) *q(q² - 1)=6 получим
(15 - 6q) * q =6 раскрыть скобки и привести к стандартному виду
6q² - 15q + 6 =0 решаем квадратное уравнение относительно q и находим два корня q₁ = 2 и q₂ = 1/2 - этот корень посторонний, т.к. при таком знаменателе прогрессия является убывающей, что противоречит условию. Найдем теперь b₁ из b₁ *q⁴ - b₁ = 15 b₁ = 15/(q⁴ - 1) = 15/(16-1) =1
Зная, что сумма геом. прогрессии равна 127, найдем количество членов этой прогрессии. Sn = b₁ * (1-q^n)/(1-q)
127 =1 * (q^n -1)/(2-1); 127 =q^n -1; q^n=128=2⁷ Значит n=7
Ответ: 7
b₅ - b₁ = 15 и b₄ -b₂ = 6 (Эти уравнения надо объединить значком системы, но я не могу найти как это напечатать). Преобразуем эту систему:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15 и b₁ * q³ - b₁ * q =6 далее умножим второе уравнение на q:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15 и b₁ * q⁴ - b₁ * q =6 q далее вычтем из первого второе и выразим из него b₁: b₁ *q² - b₁ = 15 - 6q; b₁(q² - 1) = 15 - 6q
b₁ = (15 - 6q)/(q² -1) Теперь найдем q из уравнения b₁ * q³ - b₁ * q =6
b₁ * q(q² - 1)=6 сделаем подстановку: (15 - 6q)/(q² -1) *q(q² - 1)=6 получим
(15 - 6q) * q =6 раскрыть скобки и привести к стандартному виду
6q² - 15q + 6 =0 решаем квадратное уравнение относительно q и находим два корня q₁ = 2 и q₂ = 1/2 - этот корень посторонний, т.к. при таком знаменателе прогрессия является убывающей, что противоречит условию. Найдем теперь b₁ из b₁ *q⁴ - b₁ = 15 b₁ = 15/(q⁴ - 1) = 15/(16-1) =1
Зная, что сумма геом. прогрессии равна 127, найдем количество членов этой прогрессии. Sn = b₁ * (1-q^n)/(1-q)
127 =1 * (q^n -1)/(2-1); 127 =q^n -1; q^n=128=2⁷ Значит n=7
Ответ: 7
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
7 лет назад