Question

Нужна помощь в решении определёного интеграла.
Решение должно быть полное и подробное.

Answer 1

Интегрируем по частям $\int \limits^b_a {u} \, dv = uv |^b_a - \int \limits^b_a {v} \, du \\ \\ u= \ln{(x^2+4)}; \ \ du=\frac{2x \, dx}{x^2+4} \\ \\ dv=1 \, dx; \ \ v= \int 1 \, dx=x \\ \\ \int\limits^2_0 {\ln{(x^2+4})} \, dx = x \cdot \ln{(x^2+4)}|^2_0 - \int \limits^2_0 {x \cdot \frac{2x}{x^2+4}} \, dx = \\ \\ =(2 \cdot \ln{(2^2+4}) - 0) - 2\int \limits^2_0 {\frac{x^2}{x^2+4}} \, dx =2 \ln{8} - 2\int \limits^2_0 {\frac{(x^2+4)-4}{x^2+4}} \, dx =$

$\\ \\ =2 \ln{8} - 2 \cdot (\int \limits^2_0 {1} \, dx - \int \limits^2_0 {\frac{4}{x^2+4}} \, dx)= \ln{8}^2 - 2 \cdot (x|^2_0 -4 \int \limits^2_0 {\frac{1}{x^2+2^2}} \, dx)=\\ \\ = \ln64 - 2 \cdot (x - 4 \cdot \frac{1}{2} arctg \, \frac{x}{2})|^2_0 = \ln 64 - 2 \cdot (2 -2arctg\,1 - 0+0)=\\ \\ =\ln64 - 4 +4 \cdot \frac{\pi}{4}=\ln 64 -4 + \pi$