Question

Помогите решить уравнение

Answer 1

Замена
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin²x+2sinxcosx+cos²x=t²
sin2x=t²-1

Уравнение примет вид
t=1-(t²-1)
t²+t-2=0
t=-1    или   t=2

Возвращаемся к переменной х
sinx+cosx =-1      или      sinx + cosx =2

1)
Первое уравнение можно привести к уравнению с половинным аргументом

2sin(x/2)cos(x/2) + cos²(x/2)-sin²(x/2)=-sin²(x/2)-cos²(x/2)
или
2sin(x/2)cos(x/2) +2 cos²(x/2)=0
2cos(x/2)·(sin(x/2)+cos(x/2))=0
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из этих множителей равен 0 ( а другой при этом не теряет смысла). Замечание в скобках к данному уравнению лишнее, так как все выражения определены при любом х.

cos (x/2)=0   ⇒     (x/2) =(π/2)+πn, n∈Z    ⇒  x=π+2πn, n∈Z
sin(x/2)+cos(x/2)=0
делим обе части уравнения на соs(x/2)
tg(x/2)+1=0
tg(x/2)=-1
(x/2)=-π/4+πk,k∈Z
x=-π/2+2πk,k∈Z
2)
Второе уравнение не имеет решений. Так как синус и косинус не могут одновременно принимать свои наибольшие значения, равные1,а справа 2=1+1

Ответ.   x=π+2πn, n∈Z  x=-π/2+2πk,k∈Z