Question

Помогите решить систему неравенств
{(x≥(2x+18)/(x-1)
{log_2 (1+x) ≤ 3

Answer 1

$\begin{cases}x \geq \frac{2x+18}{x-1} \\ log_2(1+x) \leq 3\end{cases}$

Решаем по очереди каждое неравенство, а затем объединяем решения:

1 неравенство:

$x \geq \frac{2x+18}{x-1} \\ \\ x - \frac{2x+18}{x-1} \geq 0 \\ \\ \frac{x(x-1)-(2x+18)}{x-1} \geq 0 \\ \\ \frac{x^2-x-2x-18}{x-1} \geq 0 \\ \\ \frac{x^2-3x-18}{x-1} \geq 0 \\ \\ \frac{(x+3)(x-6)}{x-1} \geq 0$

_____-_____$-3$_____+_____$1$_____-______$6$_____+_____

1)  $x\in [-3;1)\textup{ U }[6;+\infty)$

2 неравенство:

$log_2(1+x) \leq 3$

ОДЗ:
$1+x\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ -1$

Решение:
$log_2(1+x) \leq 3 \\ log_2(1+x) \leq log_28 \\ 1+x \leq 8 \\ x \leq 7$

одз:            _______$-1$____________________
решение:    __________________$7$_________

2)  $x\in(-1;7]$

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ:

1)  _______$-3$________$1$________$6$_________$7$________

2)  ____________$-1$______________________$7$________

Ответ:  $x\in(-1;1)\textup{ U }[6;7]$