Question

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 63, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна -18.

Answer 1

Для исходной бесконечно убывающей геом.прогресии $(b_n)$ по условию: $S=b_1+b_2+b_3+...=\dfrac{b_1}{1-q}=63$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию $(c_n)$, составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т.е. $c_1=b_2,c_2=b_4,c_3=b_6,...$
Эта новая прогрессия - также геом. бесконечно убывающая. Следовательно,
$\tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=-18$, где $\tilde{q}=\dfrac{c_2}{c_1}=\dfrac{b_4}{b_2}$ - знаменатель новой геом.прогрессии.
Преобразуем:
$\tilde{S}=-18=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2}$
Получаем систему: $\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=63 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=-18 \end{cases}$
Делим первое уравнение на второе:
$\dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\dfrac{63}{-18} \\ \dfrac{1+q}{q}=-\dfrac{7}{2} \\ 2+2q=-7q \\ 9q=-2 \\ q=- \frac{2}{9}$
Ответ: $- \frac{2}{9}$