Question

В треугольнике ABC известны углы ABC=60 и ACB=90, а точка D разбивает гипотенузу на части AD=1 и DB=3. Длина отрезка CD равна

Answer 1

$ABC$ - прямоугольный 
$\ \textless \ ACB=90^\circ$
$\ \textless \ ABC=60^\circ$, тогда 
$\ \textless \ BAC=30^\circ$
$AB=AD+BD$
$AB=1+3=4$
$CB= \frac{1}{2} AB=2$ ( как катет, лежащий на против угла в 30 градусов)
по теореме Пифагора найдем:
$AC= \sqrt{AB^2-CB^2} = \sqrt{4^2-2^2} = \sqrt{12} =2 \sqrt{3}$
рассмотрим треугольник $ACD$:  
по теореме косинусов 
$CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cos\ \textless \ CAD$

$CD^2=(2 \sqrt{3} )^2+1-2*2 \sqrt{3} *1* \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$CD^2=7$
$CD= \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$