Question

Медиана CM и высота CH треугольника ABC делят угол ACB на три равные части. Найдите угол ACB.

Answer 1

Дан треугольник АСВ.
СН- высота.
СМ- медиана. ⇒
АМ=МВ  
СМ - высота и делит угол АСМ на равные углы.
Если высота треугольника делит угол на два равных,  она - биссектриса и медиана, и этот треугольник равнобедренный. ⇒
АН=НМ. 
Пусть АН=НМ=х.  
СМ - медиана треугольника АСВ,   
АМ=МВ=2х
∠ АСН=∠НСМ=∠МСВ ⇒
СМ- биссектриса угла НСВ. 
Треугольник СНВ - прямоугольный  с прямым углом Н. 
Биссектриса угла треугольника делит противоположную ему сторону в отношении прилежащих сторон. 
Следовательно, т.к.  НМ:МВ=1:2,  то
СН:СВ=1:2
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то этот катет противолежит углу 30º. 
Или, иначе,
sin∠CBH=СН:CB=1/2, - это синус 30º
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов =90º ⇒ ∠ НСВ=90º-3º0=60º ⇒ ∠АСН=1/2∠ НСВ=30º⇒
∠АСВ=90º