Question

Решите логарифмическое неравенство и укажите его наибольшее значение

Answer 1

$log_{2-x}x \leq 1$
ОДЗ данного неравенства:
{2-x>0
{x>0
{2-x≠1
или
{x<2
{x>0
{x≠1
(0;1)U(1;2)
Данное неравенство эквивалентно следующим неравенствам
{x>0                      {x>0
{2-x>1              ⇔ {x<1
{x ≤ 2-x                 {x≤1
Решение данной системы неравенств является интервал (0;1)
и
{x>0             {x>0
{0<2-x<1  ⇔ {1<x<2
{x≥2-x           {x≥1
Решением данной системы неравенств является интервал(1;2)
Поэтому исходное неравенство имеет решения для всех
значений х ∈(0;1)U(1;2)
Ответ:(0;1)U(1;2)

Легко доказать что исходное неравенство истинно на всей области его определения или что
 $log_{2-x}x \leq 0$
 для всех
значений х ∈(0;1)U(1;2)
так как $log_{2-x}x = \frac{ln(x)}{ln(2-x)}$
В данной дроби числитель при значении х∈(0;1) отрицателен, а при значении х∈(1;2) положителен.
Знаменатель наоборот при при значении х∈(0;1) положителен, а при значении х∈(1;2) отрицателен. Поэтому значение дроби для всех значений х∈(0;1)U(1;2) всегда меньше нуля. Раз данный логарифм при всех значениях х∈(0;1)U(1;2) меньше нуля то следовательно и меньше 1.
Наибольшего целого значения решения неравенства нет.