Question

Решите уравнение (1+x^2010)(1+x)^2008=(2x)^2009.

Answer 1

При x<0 левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней нет.
При х≥0 к каждой скобке левой части применим очевидное неравенство $1+x\ge2\sqrt{x}$, которое обращается в равенство, только если x=1. Тогда
$(1+x^{2010})(1+x)^{2008} \ge (2\sqrt{x^{2010}} )(2\sqrt{x})^{2008}=(2x)^{2009},$ т.е., равенство из условия выполняется только при x=1. Ответ: единственный корень x=1.