Question

Решить уравнение
$2cosxcos3x-1=0$

Answer 1

Есть формула
cos a*cos b = 1/2*(cos(a-b) + cos(a+b))
Подставляем
2cos x*cos 3x - 1 = 0
cos x*cos 3x = cos 3x*cos x = 1/2
1/2*(cos 2x + cos 4x) = 1/2
cos 2x + cos 4x = 1
2cos^2 (2x) - 1 + cos 2x - 1 = 0
Замена cos 2x = y, -1 <= y <= 1 при любом х
2y^2 + y - 2 = 0
D = 1^2 - 4*2(-2) = 1 + 16 = 17
y1 = cos 2x = (-1 - √17)/4 < -1 - не подходит
y2 = cos 2x = (-1 + √17)/4 < 1 - подходит
x = +-1/2*arccos ( (-1 + √17)/4 ) + 2pi*k

Чтобы не было споров с Tolusb, проверил.
Если cos x = √(6 + 2√17) / 4, то
cos 2x = 2cos^2 x - 1 = 2*(6 + 2√17)/16 - 1 = (6 + 2√17)/8 - 1 =
= (6 + 2√17 - 8)/8 = (-1 + √17)/4
Так что корни у нас получились одинаковые, но разными способами.

Answer 2

$2\cos x\cos 3x-1=0\\ 2\cos x(4\cos^3x-3\cos x)-1=0$
  Пусть cosx = t, |t|≤1 тогда получаем
$2t(4t^3-3t)-1=0\\ 2t^2(4t^2-3)-1=0\\ t^2=z\,\, (z \geq 0)\\ 2z(4z-3)-1=0\\ 8z^2-6z-1=0\\ D=b^2-4ac=36+32=68;\,\, \sqrt{D} =2 \sqrt{17} \\ z= \frac{3+ \sqrt{17}}{8}$
Возвращаясь от z
  $t^2= \frac{3+\sqrt{17}}{8} \\ t_1_,_2=\pm \frac{ \sqrt{6+2\sqrt{17}} }{4}$

Возвращаемся к замене
$\cos x=\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{17}} }{4}\\ x=\pm \arccos(\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{17}} }{4})+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=-\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{17}} }{4}\\ x=\mp\arccos(\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{17}} }{4})+2 \pi n,n \in Z$