Question

Найдите наименьшую величину выражения
√((x1)^2+(1−x2)^2)+√(x2)^2+(1−x3)^2+…+√(x2n)^2+(1−x1)^2.Какое неравенство надо применить при решении

Answer 1

Для каждого корня можно применить неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим, а именно, для любых а и b верно $\sqrt{(a^2+b^2)/2}\ge (a+b)/2,$ или, что то же самое, $\sqrt{a^2+b^2}\ge (a+b)/\sqrt{2},$ причем равенство достигается только когда a=b. Поэтому, вся сумма не меньше, чем $(x_1+(1-x_2))/\sqrt{2}+(x_2+(1-x_3))/\sqrt{2}+\ldots+(x_n+(1-x_1))/\sqrt{2}=n/\sqrt{2}.$ Это значение достигается при $x_1=x_2=x_3=\ldots=x_n=1/2.$