Question

x1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение:
sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5)?

Answer 1

 
     Заменим данные переменные на $a;b;c;d;e$  соответственно 
     
  $\sqrt[5]{abcde}*(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} ) \\ a,b,c,d,e \geq 0 \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{5} \geq \sqrt[5]{a^4b^4c^4d^4e^4} = (abcd)^{ \frac{4}{5}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5 \frac{(abcde) ^{\frac{4}{5}}}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5$ 
 
   
  то есть минимальное значение $5$