Question

Найдите произведение всех целых корней уравнения $\frac{x^2}{x+3} + \frac{8x+24}{x^2}-6=0$

Answer 1

$\frac{ x^{2} }{x+3} + \frac{8x+24}{ x^{2} } -6=0$

ОДЗ:
$x^{2} \neq 0$
$x+3 \neq 0$

$x \neq 0$
$x \neq -3$

$\frac{ x^{2} }{x+3} + \frac{8(x+3)}{ x^{2} } -6=0$

введем замену: $\frac{ x^{2} }{x+3}=t$

$t+ \frac{8}{t} -6=0$
$t \neq 0$

$t^2-6t+8=0$
$D=36-32=4$
$t_1=4$
$t_2=2$

$\frac{ x^{2} }{x+3}=4$  или  $\frac{ x^{2} }{x+3}=2$

$x^{2} =4(x+3)$           или  $x^{2} =2(x+3)$

$x^{2} -4x-12=0$      или  $x^{2} -2x-6=0$
$D=16+48=64$     или  $D=4+24=28$
$x_1=6$         или   $x_3= \frac{2+2 \sqrt{7} }{2} =1+ \sqrt{7}$
$x_2=-2$        или    $x_3= \frac{2-2 \sqrt{7} }{2} =1- \sqrt{7}$

$6*(-2)=-12$

Ответ: $-12$