Question

Существует ли простое число вида k^4+64 , где k -целое число?

Answer 1

Извините, но GlebGor1998 написал полную чушь.
При k = 1 получится k^4 + 64 = 65 - нечетное, хотя и не простое.
Давайте разбираться. Ясно, что k должно быть нечетным.
4 степени нечетных чисел могут кончаться на такие цифры:
1^4 = 1; 3^4 = 81 = 1; 5^4 = 625 = 5; 7^4 = 2401 = 1; 9^4 = 6561 = 1
Если k^4 кончается на 1, то сумма k^4 + 64 кончается на 5 - не подходит.
Если k^4 кончается на 5, то сумма, тоже не может быть простой.
Число k должно иметь вид k = 5(2n+1), то есть 5 умножается на нечетное.
Например, k = 5; k^4 + 64 = 5^4 + 64 = 625 + 64 = 689 = 13*53
Хотя доказать это не просто. Я составил программу-макрос в Excel
и проверил все k = от 5 до 215, потому что 215^4 ~ 2^31 - это предел
для чисел типа long в Visual Basic.
Все числа оказались составными.

Все это полная чушь на самом деле. Все намного проще.
k^4 + 64 = k^4 + 2*8*k^2 + 8^2 - 2*8*k^2 = (k^2 + 8)^2 - 16k^2
Дальше это раскладывается, как разность квадратов.
k^4 + 64 = (k^2 + 8 - 4k)(k^2 + 8 + 4k)
Очевидно, что ни при каком k ни одна из скобок не равна 1.
Поэтому число раскладывается на произведение двух чисел.
То есть k^4 + 64 при любом k является составным числом.