Question

Найдите область определения выражения: $\frac{ \sqrt{} x ^{2} -4x -21}{ x^{2} -64}$

Answer 1

Подкоренное выражение всегда больше ли равно нулю

$x^2 -4x-21 \geq 0; \ \ \ x^2 -4x-21 =0\\ \\ x_{1,2} =\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}=\frac{4 \pm 10}{2}; \ x_1=7, \ x_2=-3$

     +             —        +
----------*-----------*------------>x
         -3            7
$x \leq -3, \ \ x \geq 7$


Знаменатель не равен нулю (на ноль делить нельзя)
$x^2 -64 \neq 0; \ \ \ (x-8) \cdot (x+8) \neq 0; \\ \\ x \neq 8; \ \ x \neq -8$


В итоге получаем
$\left\{\!\begin{aligned} & x \leq -3, \ \ x \geq 7\\ & x \neq 8; \ \ x \neq -8 \end{aligned}\right. \ \ \ \ \ \Rightarrow \ x\ \textless \ -8; \ -8\ \textless \ x \leq -3; \ 7 \leq x\ \textless \ 8; \ x\ \textgreater \ 8$