Question

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 33.

Answer 1

Параллелограмм АВСД (АВ=СД и ВС=АД), диагонали АС/ВД=33 пересекаются в точке О
Ромб КМНР (КМ=МН=НР=РК), стороны КМ||AC||РH KР||BД||МН.
Обозначим угол между диагоналями ∠АОВ=∠СОД=α
Площадь параллелограмма Sп=АС*ВД*sin α/2=33ВД²*sin α /2.
Т.к. по условию стороны ромба параллельны диагоналям, то ромб разделен на 4 маленьких параллелограмма, а значит противоположные углы равны ∠К=α.
Рассмотрим ΔABД и ΔАКР:
∠КАР - общий и ∠АКР=∠АВД (как соответственные углы для параллельных прямых КР и ВД с секущей АВ)
Следовательно, ΔABД и ΔАКР подобны по первому признаку подобия: 
КР/ВД=АР/АД.
Аналогично подобны ΔАСД и ΔРНД (∠РДН - общий и ∠ДРН=∠ДАС как соответственные).
РН/АС=РД/АД
КР/ВД+РН/АС=АР/АД+РД/АД.
Т.к. КР=РН и АР+РД=АД, АС=33ВД, то
КР/ВД+КР/33ВД=(АР+РД)/АД
(33КР+КР)/33ВД=1
КР=33ВД/34
Площадь ромба Sр=КР²*sin α=(33ВД)²*sin α/34².
Отношение площадей:
Sр/Sп=(33ВД)²*sin α/34² / 33ВД²*sin α /2=66/34²=33/578

.