Question

Решите неравенство подробно

Answer 1

$log_{|x|} (x-1)^2 \leq 2$

ОДЗ:
$(x-1)^2\ \textgreater \ 0$
$|x|\ \textgreater \ 0$
$|x| \neq 1$

$x \neq 1$
$x \neq 0$
$x \neq -1$  или $x \neq 1$
x ∈ $(-$∞$;-1)$ $(-1;0)$  $(0;1)$ $(1;+$∞$)$

$log_{|x|} (x-1)^2 \leq log_{|x|}|x|^2$

1 случай:
$0\ \textless \ |x|}\ \textless \ 1$
$(x-1)^2 \geq x^{2}$

$|x|\ \textgreater \ 0$
$|x|\ \textless \ 1$
$(x-1)^2-x^2 \geq 0$

$x \neq 0$
$x\ \textgreater \ -1$
$x\ \textless \ 1$
$x^{2} -2x+1- x^{2} \geq 0$

x ∈ $(-1;0)$  $(0;1)$
$x \leq \frac{1}{2}$
 общее решение:  x ∈ $(-1;0)$  $(0; \frac{1}{2} ]$ 

2 случай:
$|x|\ \textgreater \ 1$
$(x-1)^2 \leq x^{2}$

$x\ \textgreater \ 1$  или $x\ \textless \ -1$
$x^{2} -2x+1- x^{2} \leq 0$

$x\ \textgreater \ 1$  или  $x\ \textless \ -1$
$x \geq \frac{1}{2}$

общее решение x ∈ $(1;+$∞$)$
объединяем два случая и ОДЗ и получаем

Ответ: $(-1;0)$  $(0; \frac{1}{2} ]$  $(1;+$∞$)$