Question

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3 , считая от вершины острого угла . Найдите большую сторону , если его периметр 10

Answer 1

Ну прежде всего набросаем рисунок. (Смотрите вложение)
Итак согласно рисунку и условию имеем:
ABCD - Параллелограмм
BK - биссектриса тупого угла D.
При этом 3*KC=BK.
Поскольку BK - биссектриса, то угол ADK равен углу KDC обозначим φ.
Далее проводим дополнительные построения. Через точку K проводим прямую KM параллельную сторонам AB и DC. Она пересечет сторону AD в точке M.
Углы MKD и KDC равны  как внутренние, накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и DC и секущей DK. Значит угол MKD=φ. Углы MKD=MDK=φ. Значит треугольник MDK равнобедренный, его боковые стороны равны. MD=MK.
Четырехугольник ABKM является параллелограммом, так как его противолежащие стороны параллельны, ну значит они еще и равны, т.е.
BK=AM, AB=MK. Нас интересует последнее равенство ибо из него⇒
AB=MK=MD=KC (MDKC ведь тоже получился параллелограмм).
Теперь обозначим KC=x, тогда согласно условию BK=3x. Значит BC=4x.
Из вышеприведенных соображений следует, что AB=KC=x.
ПЕРИМЕТР равен:
$P=2 \cdot AB+2 \cdot BC=2 \cdot x+2 \cdot 4x=2x+8x=10x$,
что по условию равно 10 (попугаям :) ну единицы ж не указаны).
Итак имеем простенькое уравнение 10x=10
Решаем его $x= \frac{10}{10} = 1$
Тогда стороны
$BC=AD=4x= 4 \cdot 1=4$
$AB=CD=x= 1$

Как видно большая сторона равна 4