Question

Докажите, что для любого натурального числа n, найдутся две различные степени числа 7, разность которых кратна n.

Answer 1

Здесь надо делать по теореме Эйлера, которая говорит, что если а и m взаимно просты, то $a^{\varphi(m)}-1$ всегда делится на m. Здесь $\varphi(m)$ - функция Эйлера, которая равна количеству натуральных чисел не превосходящих m и взаимно простых с m. Если это использовать, то решение такое.Число n всегда можно записать в виде $7^km,$ где k≥0, m≥1 и m взаимно просто с 7. Тогда по теореме Эйлера число $7^{k+\varphi(m)}-7^k$ делится на n, т.к. оно равно$7^k(7^{\varphi(m)}-1).$