Question

ABCD - прямоугольник; M - середина BC. известно,что прямые MA и MD взаимно перпендикулярны и что периметр прямоугольника ABCD равен 24. найдите площадь прямоугольника ABCD

Answer 1

По условию |ВМ| = |МС|, |ВА| = |СD| и углы АВМ и DСМ - прямые (так как АВСD - прямоугольник) => ∆ АВМ = ∆ DCM (по двум катетам), а значит, |МА| = |МD|. Прямые МА и МD взаимно перпендикулярны => ∆ АМD - равнобедренный (по определению) прямоугольный => его углы при основании (МАD и MDA) равны и составляют 45° каждый. Угол ВМА - накрест лежащий углу МАD, а угол СМD - накрест лежащий углу МDA => угол МАD = углу ВМА и МDA = углу СМD. Тогда ∆ АВМ и ∆ DCM - равнобедренные по признаку (углы при основании равны). Примем |АВ| за х (единиц), тогда |СD| = x (так как АВСD - прямоугольник), а |ВС| = 2|ВА|= 2х. Тогда весь периметр прямоугольника АВСD - это х + х + 2х + 2х = 6х, что составляет 24 (единицы) => х = 4 (единицы) - |АВ|. Соответственно, |ВС| = 2*4 = 8 (единицы). Итак, площадь АВСD = 4*8= 32 (единицы²). Ответ: 32 единицы².