Question

Найти частное решение линейного диффура второго порядка, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Нужно подробное объяснение.
y''+2y'+y=x²+3x, y(0)=0, y'(0)=-1

Answer 1

y''+2y'+y=x²+3x
1) Решаем однородное y''+2y'+y=0. Для него характеристическое уравнение
β²+2β+1 = 0
(β+1)² = 0
β = -1 - корень кратности 2.
Фундаментальная система решений: $e^{-x},\ xe^{-x}$
Решение $y=c_1e^{-x}+c_2 xe^{-x}=e^{-x}(c_1+xc_2)$
2) Подставим это решение в исходное уравнение. Для этого найдем нужные производные, представив полученное решение как функцию
$y(x)=e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]$
$y'(x)=-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]'= \\ =-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1'(x)+c_2(x)+xc_2'(x)]= \\ = -c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_1'(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}+c_2'(x)xe^{-x}= \ \textgreater \ \\ =\ \textgreater \ c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)xe^{-x}=0\\ \\ y'(x)=-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x}$
$y''(x)=-c_1'(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2'(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2'(x)xe^{-x}- \\ - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}$
Подставим y, y' и y'' в исходное уравнение:
$-c_1'(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2'(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2'(x)xe^{-x}- \\ - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x} +2(-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x})+ \\ +c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Далее всё это упростим:
$-c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)e^{-x}-c_2'(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Получим систему уравнений:
$\begin{cases} -c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)e^{-x}-c_2'(x)xe^{-x}=x^2+3x \\ c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)xe^{-x}=0 \end{cases}\\ \begin{cases} c_1'(x)+c_2'(x)x=0 \\ -c_1'(x)+c_2'(x)-c_2'(x)x=(x^2+3x)e^x \end{cases}\\ \begin{cases} c_2'(x)=(x^2+3x)e^x \\ c_1'(x)=-(x^2+3x)xe^x \end{cases}$
Находим $c_1$ и $c_2$
$c_1(x)=-\int (x^2+3x)xe^x dx=-\int (x^3+3x^2)d(e^x)= \\ =-(x^3+3x^2)e^x+\int e^x(3x^2+6x)dx=-(x^3+3x^2)e^x+\\ +(3x^2+6x)e^x - \int e^x(6x+6)dx=e^x(-x^3+6x)-(6x+6)e^x+\\+\int 6e^xdx=(-x^3-6)e^x+6e^x+\tilde{c_1}=-x^3e^x+\tilde{c_1};$
$c_2(x)=\int (x^2+3x)e^x dx=\int (x^2+3x)d(e^x)= \\ =(x^2+3x)e^x-\int e^x(2x+3)dx=(x^2+3x)e^x-\\ -(2x+3)e^x + \int 2e^xdx=e^x(x^2+x-1)+\tilde{c_2}.$
Подставим в найденное ранее решение однородного уравнения:
$y=(-x^3e^x+\tilde{c_1})e^{-x}+(e^x(x^2+x-1)+\tilde{c_2})xe^{-x}= \\ =-x^3+\tilde{c_1}e^{-x}+x^3+x^2-x+\tilde{c_2}xe^{-x}= \\ =\tilde{c_1}e^{-x}+\tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x.$
Осталось применить y(0)=0, y'(0)=-1.
$y(0)=0 =\ \textgreater \ \tilde{c_1}=0 =\ \textgreater \ y(x)= \tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x \\ y'(x)= \tilde{c_2}e^{-x}-\tilde{c_2}xe^{-x}+2x-1 \\ y'(0)=-1=\ \textgreater \ -1=\tilde{c_2}+\tilde{c_2}e-2-1\ =\ \textgreater \ \tilde{c_2}= \frac{2}{e+1}$
Собираем окончательное решение:
$y= \frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$

Ответ: $y= \frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$