Question

Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.

Answer 1

     
       
      $(1+\frac{x}{y} )(1+\frac{y}{z}) (1+\frac{z}{x} ) = \\ \frac{ (y+x) (z+y) (x+z) }{xyz} \\ y+x \geq 2\sqrt{xy}\\ z+y \geq 2\sqrt{zy} \\ x + z \geq 2\sqrt{xz} \\\\ \frac{ (y+x) (z+y) (x+z) }{xyz} \geq \frac{8*x*y*z}{xyz} = 8$ 
    
   
 Использовано неравенство между средними   , ответ      $8$