Question

log5x+log5(x+4)≤1. Решите пожалуйста. при ≤ нужно писать ОДЗ?
    И в вариантах ответа 5 и 1 стоят в круглых и квадратных скобках, как это вычислять? Спасибо большое за ответ

Answer 1

Сначала лучше записать ОДЗ неравенства:
$x \ \textgreater \ 0 \\ x+4 \ \textgreater \ 0$
Теперь решаем полученную систему.
$x \ \textgreater \ 0 \\ x \ \textgreater \ -4$
При пересечении отдельных неравенств системы получаем окончательную область допустимых значений: x > 0.
Теперь решим неравенство. Для этого воспользуемся формулой суммы логарифмов $log_{5} x + log_{5} (x+4) = log_{5} x(x+4)$
Тогда неравенство принимает вид:
$log_{5} x(x+4) \ \textless \ = 1$
Ну и далее


$x(x+4) \ \textless \ = 5$
$x^{2} + 4x - 5 \ \textless \ = 0$
Обыкновенное квадратичное неравенство. Не останавливаюсь на его решении. Получаем:
$[-5;1]$
Но мы решили только само неравенство сейчас без учёта ОДЗ. ОДЗ мы знаем, так что окончательно имеем
(0;1]

Answer 2

$log_5x+log_5(x+4) \leq 1 \\ ОДЗ \\ x\ \textgreater \ 0 \\ x+4\ \textgreater \ 0 \iff x\ \textgreater \ -4 \\ ODZ:x \ \textgreater \ 0 \\ log_5x(x+4) \leq log_55 \\ x(x+4) \leq 5 \iff x^2+4x-5 \leq 0 \\ D=b^2-4ac=16+20=36 \\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{36}=6 \\ x_1= \frac{-4-6}{2}=-5 \\ x_2= \frac{-4+6}{2}=1 \\ (x-1)(x+5) \leq 0 \\ x \in [-5;1] \\ x\ \textgreater \ 0 \\ x \in (0;1]$