Question

1) cosx=cos3x
2) sinx+cos3x=0

Answer 1

1)сosx-cos3x=0
cosa-cosb=-2sin(a-b)/2*sin(a+b)/2
2sinxsin2x=0
sinx=0⇒x=πn
sin2x=0⇒2x=πn⇒x=πn/2
Ответ x=πn/2,n∈Z
2)sinx+sin(π/2-3x)=0
sina+sinb=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2=0
2sin(π/4-x)cos(π/4+2x)=0
sin(π/4-x)=cos(x+π/4)=0⇒x+π/4=π/2+πn⇒x=π/4+πn
cos(π/4+2x)=0⇒2x+π/4=π/2+πn⇒2x=π/4+πn⇒x=π/8+πn/2

Answer 2

$\cos x=\cos 3x\\ \cos x=4\cos^3x-3\cos x\\ 4\cos x-4\cos^3x=0\\ 4\cos x(1-\cos ^2x)=0\\ \cos x=0\\ x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z\\ 1-\cos^2x=0\\ \sin^2x=0\\ x= \pi k,k \in Z$

$\sin x+\cos3x=0\\ | \sqrt{1-\cos^2x}|=4\cos^3x-3\cos x$
 Пусть $\cos x=t\,(|t| \leq 1)$
$| \sqrt{1-t^2}|=4t^3-3t$
 ОДЗ: 1-t²≥0
$1-t^2=(4t^3-3t)^2$
 Пусть t² = z (z≥0)
$1-z-16z^3+24z^2-9z=0\\ 16z^3-24z^2+10z-1=0\\ 16z^3-8z^2-16z^2+8z+2z-1=0\\ 8z^2(2z-1)-8z(2z-1)+(2z-1)=0\\ (2z-1)(8z^2-8z+1)=0\\ z_1=0.5\\ \\ 8z^2-8z+1=0\\ D=b^2-4ac=64-32=32\\ z_2_,_3= \frac{2\pm \sqrt{2} }{4}$

Возвращаемся от z
$t^2=0.5\\ t=\pm \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$t^2= \frac{2\pm \sqrt{2} }{4} \\ t=\pm \frac{ \sqrt{2\pm \sqrt{2} } }{2}$

$t=\frac{ \sqrt{2} }{2}$ не удовлетворяет ОДЗ

Возвращаемся к замене
$\cos x=-\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x=\pm \frac{3 \pi }{4}+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=\pm \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2} \\x=\pm\arccos(\pm \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2} )+2 \pi n,n \in Z$