Question

В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, состоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220. Найдите десятый член прогрессии.

Answer 1

На нечетных местах стоят следующие 10 членов:
$a_1; \ a_1+2d; \ a_1+4d; \ ...; \ a_1+18d$

Найдем сумму этих членов:
$S=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+ ...+ (a_1+18d)= \\\ =10a_1+(2+4+...+18)d=10a_1+90d$

По условию эта сумма равна 220:
$10a_1+90d=220$

Разделим обе части последнего равенства на 10:
$a_1+9d=22$

Заметим, что согласно общей формуле n-ого члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+d(n-1)$ в левой части получившегося равенства стоит искомый десятый член:
$a_{10}=a_1+9d=22$

Ответ: 22

Answer 2

$a_2+a_4+...+a_{20}=250 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=220 \\ a_{10}=? \\ S_{20}=a_1+a_2+a_3+...+a_{19}+a_{20}=250+220=470 \\ S_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}*20= \frac{a_1+a_1+19d}{2}*20= \frac{2a_1+19d}{2}*20 \\ 10(2a_1+19d)=S_{20} \\ 10(2a_1+19d)=470 \iff 2a_1+19d=47 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+...+(a_1+18d)=220 \\ 10a_1+(2+4+6+8+10+12+14+16+18)d=220 \\ 10a_1+90d=220 \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {10a_1+90d=220}} \right. \\ \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {a_1+9d=22}} \right.$
$a_1=22-9d \\ 2(22-9d)+19d=47 \\ 44-18d+19d=47 \\ d=47-44 \\ d=3 \\ a_1=22-9*3=22-27 \\ a_1=-5 \\ a_{10}=a_1+9d=-5+9*3=27-5=22 \\ a_{10}=22$