Question

Разложить 〖(x+1/2x)〗^8 по формуле бинома Ньютона и упростить.

Answer 1

Сначала разберемся с коэффициентами бинома Ньютона при n = 8.
Для этого можно построить треугольник Паскаля до 8 строки
1
1 1
1 2  1
1 3  3   1
1 4  6   4  1
1 5 10 10  5   1
1 6 15 20 15  6   1
1 7 21 35 35 21  7  1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Эти коэффициенты подставляем в формулу.
$(x+ \frac{1}{2x} )^{8} = x^{8} +8 x^{7} \frac{1}{2x} +28 x^{6} \frac{1}{4 x^{2} }+56 x^{5} \frac{1}{8 x^{3} }+70 x^{4} \frac{1}{16 x^{4} } +56 x^{3} \frac{1}{32 x^{5} }$
$+28 x^{2} \frac{1}{64 x^{6} }+8x \frac{1}{128 x^{7} } + \frac{1}{256 x^{8} } =$
$= x^{8}+4 x^{6}+7 x^{4} +7 x^{2} + \frac{35}{8} + \frac{7}{4 x^{2} } + \frac{7}{16 x^{4} } + \frac{1}{16 x^{6} } + \frac{1}{256 x^{8} }$