Question

Подробно пожалуйста!

Answer 1

$sin^4x+cos^4x=a\\\\\\1=sin^2x+cos^2x\; \; \to \\\\ 1^2=1=(sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x=\\\\=sin^4x+cos^4x+2(sinxcosx)^2=sin^4x+cos^4x+2\cdot (\frac{1}{2}sin2x)^2=\\\\=sin^4x+cos^4x+\frac{1}{2}sin^22x\; \; \to \; \; sin^4x+cos^4x=1-\frac{1}{2}sin^22x\\\\\\1-\frac{1}{2}sin^22x=a\\\\sin^22x=2(1-a)$

Так как $0 \leq sin^2 \alpha \leq 1$ , то $0 \leq 2(1-a) \leq 1$ .

$0 \leq 1-a \leq \frac{1}{2}\\\\-1 \leq -a \leq -\frac{1}{2}\\\\\frac{1}{2} \leq a \leq 1\\\\sin^2 \alpha =\frac{1-cos2 \alpha }{2}\; \; \to \; \; sin^22x=\frac{1-cos4x}{2}=2(1-a)\\\\1-cos4x=4(1-a)\\\\cos4x=4a-3\\\\4x=\pm arccos(4a-3)+2\pi n,\; n\in Z\\\\x=\pm \frac{1}{4}arccos(4a-3)+\frac{\pi n}{2},\; n\in Z$

Если $a\in (-\infty,\frac{1}{2}\, ]U[\, 1,+\infty)$ ,то решений нет.