Question

Помогите решить неравенство x^3 - 7x^2 + 4x + 12 / x^2 - 7x + 12 >= x + 1

Answer 1

$\frac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12} \geq x+1 \\ \frac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12} -x-1 \geq 0$
 Рассмотрим функцию
$f(x)=\frac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12} -x-1$
   $x^2-7x+12\ne0\\ x_1\ne3;\,\,\,\, x_2\ne4$
Область определения: $(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю
$f(x)=0\\ \frac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12} -x-1=0\\ \frac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12} =x+1|\cdot (x^2-7x+12)\\ -(x+1)(x^2-7x+12)+x^3-7x^2+4x+12=0\\ -(x+1)(x^2-7x+12)+(x+1)(x^2-8x+12)=0\\ (x+1)(-x^2+7x-12+x^2-8x+12)=0\\ -x(x+1)=0\\ x_1=0\\ x_2=-1$


___-__[-1] __+__[0]___-_(3)__+___(4)___-___>


Ответ: $x \in [-1;0]\cup(3;4)$