Question

Решить квадратное неравенство методом интервалов.
Важно решение, а не ответ!Спасибо!

Answer 1

Область определения: x =/= -2, -1, 1
Переносим все налево
$\frac{6}{x-1} - \frac{3}{x+1} - \frac{7}{x+2} \leq 0$
Приводим к общему знаменателю
$\frac{6(x+1)(x+2) - 3(x-1)(x+2) - 7(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq 0$
Раскрываем скобки
$\frac{6( x^{2} +3x+2)-3( x^{2} +x-2)-7( x^{2} -1)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq 0$
Упрощаем
$\frac{-4 x^{2} +15x+25}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq 0$
Умножим все неравенство на -1, при этом поменяется знак неравенства
$\frac{4 x^{2} -15x-25}{(x-1)(x+1)(x+2)} \geq 0$
Найдем корни числителя
$D= 15^{2} - 4*4(-25) = 225 + 400 = 625 = 25^{2}$
$x1 = (15 - 25)/8 = -10/8 = -5/4; x2 = (15+25)/8 = 40/8=5$
Получаем неравенство
$\frac{(4x+5)(x-5)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \geq 0$
Получаем интервалы:
(-oo; -2); (-2; -5/4]; [-5/4; -1); (-1; 1); (1; 5]; [5; +oo)
По методу интервалов берем какое-нибудь число внутри любого интервала, например, -3, и подставляем:
(-12+5)(-3-5) / [(-3-1)(-3+1)(-3+2)] = (-7)(-8) / [(-4)(-2)(-1)] < 0
Значит, интервал (-oo; -2) не подходит, а подходят следующие интервалы через один: x Є (-2; -5/4] U (-1; 1) U [5; +oo)