Question

Помогите решить интеграл e^x dx/(e^2x+e^x+1) нужно само решение

Answer 1

Замена переменной и выделение полного квадрата
$int{ frac{e^x dx}{e^{2x}+e^x+1}= [e^x=t;d(e^x)=dt]= int{ frac{dt}{t^{2}+t+1}= int{ frac{dt}{(t+ frac{1}{2}) ^{2} +frac{3}{4} }=$
Формула
$int{ frac{dx}{ x^{2} +a ^{2} } }= frac{1}{a}arctg frac{x}{a}+C$
Получаем
$= frac{1}{ sqrt{ frac{3}{4} } }arctg frac{t+ frac{1}{2} }{sqrt{ frac{3}{4}} }= frac{2}{ sqrt{3} } arctg frac{2t+1}{ sqrt{3} }+C= = frac{2}{ sqrt{3} } arctg frac{2 e^{x} +1}{ sqrt{3} }+C=$