Question

(31)Неопределенный интеграл. Разложение на простейшие дроби.

dx/(x+1)*(3x+2)- все под интегралом

Answer 1

Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:
$frac{1}{(x+1)(3x+2)}= frac{A}{x+1} + frac{B}{3x+2}$
Приводим дроби справа к общему знаменателю
$frac{1}{(x+1)(3x+2)}= frac{A(3x+2)+B(x+1)}{(x+1)(3x+2)}$
Приравниваем числители
1=A(3x+2)+B(x+1)
1=(3A+B)x +2A+B
Это равенство двух многочленов. Справа многочлен первой степени. Слева можно считать тоже первой степени
0х+1
Приравниваем коэффициенты перед х и свободные слагаемы
0=3А+В
1=2А+В
Вычитаем из первого второе
-1=А
В=1-2А=1+2=3
$int frac{dx}{(x+1)(3x+2)}= int frac{3dx}{3x+2}- int frac{dx}{x+1}= int frac{d(3x+2)}{3x+2}- int frac{dx}{x+1}= \ \ =ln|3x+2|-ln|x+1|+C=ln| frac{3x+2}{x+1}|+C$