Question

Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x і y, що Xn – yn=2015                  (n- степень)

Answer 1

 Для $n=1$ ,  $x-y=2015$ 
 Решения    $(x;2015-x)$
 
 Для $n=2\ 2015 = 5*13*31*1$ 
 Совокупность систем  , только 
$left { {{ x-y=1} atop {x+y=5*13*31}} right. \\ left { {{ x-y=5} atop { x+y= 13*31}} right. \\ left { {{x-y=13} atop { x+y = 5*31}} right. \\ left { {{ x-y=31} atop { x+y=13*5}} right.$   
 Решая  , получаем решений
 $(1008;1007) cup (204;199) cup (84;71) cup (48;17)$

 Для  $n= 3$ 
 $(x-y)(x^2+xy+y^2) = 5*13*31 \ left { {{ x-y = 1} atop { x^2+xy+y^2 = 5*13*31}} right. \ left { {{ x-y=5} atop { x^2+xy+y^2 = 13*31}} right. \ left { {{x-y=13} atop {x^2+xy+y^2 = 5*31}} right. \ left { {{ x-y = 31} atop { x^2+y^2+xy = 5*13}} right.$  
 
 Получаем решения 
 $x= 14 ; y= 9$ 
 
Для $n geq 4$ , попробуем обосновать , так 
$(x-y)(x^3+xy^2+x^2y+y^3) = 5*13*31 \\ x-y=1\ (2y+1)(2y^2+2y+1) = 2015 \\ x-y=5\ (2y+5)(2y^2+10y+25) =13*31 \\ x-y=13\ (2y+13)(2y^2+26y+169) = 5*31 \ \ x-y=31\ (2y+31)(2y^2+62y+961)=5*13$ 
 
 Так же и для других сочетаний , и мы можем легко убедиться что нет  целых решений , решая  уравнения 
 В уравнений     
 $x^5-y^5 = (x-y)(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)=1*13*5*31 \ x^6-y^6 = (x-y)(x*(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)+y^5) = 1*13*5*31 \ ...$ 
 
 Можно итерационно заметить что 
 Уравнения ,   при $n=2x+1$ 
 $frac{x^n-y^n}{x-y} = 5*31$ решения в действительных числа 
  
 А при меньших числах , не имеет в целых числах